数学的作用

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9 Feb 202411:33

Summary

TLDR英国数学家凯斯·德弗林近期撰写的文章深入探讨了数学教育，从数学的历史发展角度审视中学与大学数学课程的内容与方法。文章指出，目前的数学教育未能覆盖近300年来的数学进展，仅围绕算术、几何、微积分和代数等传统领域。德弗林提出，数学是关于模式的科学，强调了数学子分支的极大丰富及研究范式的变化。同时，他批评了1960年代美国数学教学改革（New Math）的失败，并建议在培养计算技巧的同时，应增设数学概念和数学史的选修课，以培养能够深入理解数学概念并应用于实际问题的人才。

Takeaways

🔑 中学数学教育没有涉及最近300年的数学发展,仅限于数、算术、几何和微积分的基础知识。
📜 古希腊数学将数学转变为一个研究领域,提出了证明定理的范式,产生了欧几里得的《几何原本》。
➕ 阿拉伯人推动了代数的发展,代数这个词源自阿拉伯语中"某些东西"的意思。
🌳 最近300年,数学分支急剧增加,出现了布尔代数、非欧几何、集合论等新领域。
🔎 当代数学被视为关于模式的科学,传统数学内容被重新划分为不同的模式类别。
🧠 大学数学涉及更多抽象概念和悖论,如罗素悖论、分球悖论等,需要通过公理体系来规范。
❌ 1960年代美国的"新数学"教学改革由于忽视了计算技能的重要性而失败。
🏭 工业社会需要两类数学人才:能解决给定问题的人和能建立数学模型的人。
👩‍🏫 当代数学教材仍侧重计算技能培养,但可开设概念和历史课程作为补充。
🚀 深入理解数学概念对于建立数学模型和解决实际问题至关重要。

Q & A

什么是数学的起源？
-数学的起源可以追溯到约一万年前，与数和算术紧密相连，初期与货币的使用有关。
古希腊数学有什么特点？
-古希腊数学特别强调几何，试图将所有问题转化为几何图形来解决，并且在此过程中发现了无理数。
阿拉伯人对数学发展有哪些贡献？
-阿拉伯人推动了数学的再次阶跃式发展，代数学就是在他们的推动下发展起来的，词源自阿拉伯语“al-jabr”。
古希腊人如何改变数学研究的方式？
-古希腊人将数学从应用领域的测量和计数转变为以定理和证明为中心的科学研究领域。
新数学（New Math）教学改革失败的原因是什么？
-新数学教学改革过于侧重新概念，忽视了计算技巧的训练，导致学生无法充分理解数学概念，最终导致改革失败。
数学中的'罗素悖论'是什么？
-罗素悖论是一个集合论中的著名悖论，讨论一个集合是否能包含自身，引发了第三次数学危机。
什么是ZFC公理体系？
-ZFC公理体系是数学中的一个集合论公理体系，包括策梅洛和弗兰克尔的九条公理加上选择公理。
分球悖论（Banach-Tarski Paradox）是怎样的？
-分球悖论是指在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限部分，然后重新组合成两个体积相同的球。
为什么现代的数学教育需要改进？
-因为目前的中学数学教育未能包含近300年来的数学发展，这给人们关于数学不是一个繁荣发展领域的错误印象。
数学如何被理解为一门关于模式的科学？
-数学作为一门关于模式的科学，涵盖从算术、几何到逻辑和拓扑等多种模式的研究，从而揭示自然和抽象世界中的秩序和关系。

Outlines

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📘 数学教育的发展历程

凯斯·德弗林关于数学教育的文章提出，当前的中学数学教育没有涵盖最近300年的数学发展，仅沿袭了数学的一条主线发展史。从数学的起源—数和算术开始，经过古巴比伦、古埃及的实用几何学，到古希腊时期的几何学和无理数的发现，再到阿拉伯人对代数的贡献，数学不断发展。然而，尽管古希腊时期对数学的定义和范式产生了深远影响，包括将数学定位为关于模式的科学，但近300年的数学进展，如微积分和概率论等，并未被纳入中学教育体系。这篇文章通过回顾数学的历史发展，揭示了数学教育需要改进的方向，即更好地反映数学作为一门不断发展的科学的现状。

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🎼 数学符号与抽象思维

数学符号的作用和意义远超过纸面上的标记，它们代表着抽象的概念，与音乐中的音符类似。只有当人们能够理解和内化这些符号时，数学的真实意义才能显现。这种抽象思维能力对于理解宇宙中不可见的模式至关重要。伽利略曾经描述数学是自然的语言，数学的符号化表达让我们能够揭示物理现象背后的本质。进入大学后，数学专业的学习内容将大大超越中学数学，包括对无穷概念的探讨和罗素悖论等复杂问题的分析，显示了数学在抽象思维和逻辑推理方面的深度和广度。

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🚀 数学教育的改革挑战

1960年代美国的新数学教学改革尝试将大学级别的数学内容引入中学课程，但因过分强调新概念而忽视了计算技巧的重要性而失败。该改革的经验表明，深入理解数学概念前，必须掌握相应的计算技能。尽管如此，为了应对工业社会的需求，数学教育仍需培养两类人才：能解决给定问题的人和能将实际问题翻译成数学语言进行精确分析的人。为此，数学课程改革应侧重于训练计算技能的同时，适当开设数学概念和数学史的选修课，以促进学生对数学的深入理解。

Mindmap

Keywords

💡数学教育

数学教育指的是在各级学校中对数学知识和数学思维的教授和学习。视频中讨论数学教育的现状和改进方向，特别是中学和大学阶段数学教育的内容与方法。例如，指出当前中学数学教育内容多数停留在300年前的数学发展水平，没有涵盖近现代数学的重大进展。

💡数学发展史

数学发展史涉及数学理论和方法从古至今的演进过程。在视频中，通过回顾数学发展的历史来分析当前数学教育的局限，从古巴比伦、古希腊到近现代的数学发展，指出了教育中忽略的数学历史和理论部分。

💡无理数

无理数指的是不可以用分数准确表示的数。视频中以古希腊数学对无理数的发现为例，说明数学知识的发展和数学思维方式的变化，强调了古希腊数学对后世数学发展的重要影响。

💡微积分

微积分是现代数学中一个核心的分支，涉及极限、导数、积分等概念。视频中提到，虽然微积分是17世纪的数学进展之一，但现代中学教育很少触及其深层次的内容和思想，反映出数学教育与数学发展之间的脱节。

💡概率论

概率论是研究随机现象及其规律性的数学分支。视频指出，概率论虽然是近几百年来的数学进展之一，但其在中学数学课程中的覆盖也不充分，体现了数学教育内容的局限。

💡罗素悖论

罗素悖论是逻辑学和集合论中的一个著名悖论。视频中通过罗素悖论的介绍来反映数学在20世纪的一些基础性问题，同时指出这种更高级的数学思考并未在中学阶段的数学教育中得到足够的重视。

💡数学模型

数学模型是用数学语言描述现实世界问题的方法。视频中强调，数学不仅仅是纯理论的研究，而是一个工具，可以用来解决实际问题。这指出数学教育应该不只是教授计算技巧，也应教授如何建立和应用数学模型。

💡新数学

新数学是20世纪60年代在美国推广的一种数学教育改革运动，旨在引入更多的现代数学内容。视频中提到这场改革的失败，反思了数学教育改革的困难和挑战，指出改革失败的原因之一是忽视了学生对基础数学计算技巧的需求。

💡证明定理

证明定理是数学中证实定理正确性的过程。视频中提到古希腊数学的发展，尤其是欧几里得的《几何原本》，强调了证明定理在数学发展中的重要性。这反映了数学教育中对推理和证明能力培养的重要性。

💡数学子分支

数学子分支指数学这一广泛领域内不同的研究方向和分类。视频指出，从历史上只有几个主要分支到现代的六七十个子分支，反映了数学的快速发展和多样化，同时暗示了当前数学教育内容需要更新和扩充以反映这些变化。

Highlights

数学史学家认为, 数和算术是数学的起源, 这个时间点是从一万年前开始的, 那时出现的数学和货币的使用紧密相连。

古希腊人非常注重几何, 所有问题都尽量转化到几何图形上来解决, 最典型的就是把"数"看作长度的测量值, 也因为古希腊人有这样另类的思考方法, 所以当他们发现存在一些无法对应真实长度的值时, 无理数就被发现了。

古希腊对数学的影响不只是具体知识, 更是把数学变成了一个研究领域, 在此之前, 数学完全局限在测量、计数、会计这些应用领域。

公元8、9世纪, 数学的再次阶跃式发展是由阿拉伯人推动的, 代数这个词就来源自阿拉伯语。

这些数学早期发展中出现的知识点, 再加上2个来自十七世纪的数学进展, 也就是微积分和概率论的初级知识, 大体上就是全世界的中学数学课的内容基础。

最近300年的数学进展, 根本没有走进中学数学课堂, 但今天, 数学领域内所有研究对象都是最近两、三百年内发展出来的。

300年之前的数学, 大约可以分为4个不同的领域——算数、几何、微积分、代数, 而一百年前, 布尔代数、各种非欧几何、集合论等集中出现, 数学可以划分成12个领域, 如今, 数学的子分支已经有六七十个了。

理解数学这门学科, 最先进的概念是, 数学是一门关于模式的科学(science of patterns)。

数学符号和音乐中的音符有高度类似的地位, 一页蝌蚪一样的音符虽然代表着一份音乐作品, 但只有当这些蝌蚪被演奏出来的时候才是音乐本身, 数学符号也是这样, 当它们只在纸上的时候并不是数学本身, 只有当有能力"演绎"它们的人在脑中把数学符号理解后, 数学才露出真身。

1623年伽利略的一句话是关于数学符号最好的描述："只有那些懂得自然是用什么语言书写的人, 才能读懂自然这本巨著, 而这种语言就是数学。"

进入大学学习数学专业, 内容就大幅超越了中学数学的知识范畴, 出现了很多完全脱离与物理现实对应的重要思想。

如果一个集合由所有不是自身元素的集合构成, 那么这个集合包含自身吗?这就是罗素悖论。

为了修补数学体系中的悖论, 需要添加一些额外公理作为限制条件, 不同的公理体系会导出不同的数学世界,比如承认选择公理就会导致"分球悖论"的存在。

1960年代美国搞过一次新数学教学改革运动,希望把大学数学内容引入中学,但由于忽视了计算技能的重要性而失败了。

今天的数学教材虽然还是侧重训练学生的计算技巧,但学校可以适当开设数学概念和数学史的课程,供有兴趣的学生选修。